我也来玩玩任意波形生成

la45088d1 · 发表于 2020-4-30 09:43:29

平台：STM32F103+ES9023。
生成方式：受频率调制的整数谐波累加器。

波形1（关闭FM，12次谐波初始相位固定为0，幅度1/ω，ω=1，2，……，12）：

波形2（关闭FM，12次谐波初始相位固定为180，幅度1/ω，ω=1，2，……，12）：

这是为什么呢？根据傅里叶变换，

对于f(x)=t*(u(t+1)-u(t-1))的信号，其变换结果为：
F(ω)=j*(e^-j*ω - e^jω) / ω =sinωt / ω
可以看到，谐波中只存在sinωt这种分量，是奇函数的叠加，最终得到的波形也是奇函数。这是对于一个锯齿波的傅里叶变换结果，但是波形不可能只有一个，如果将其进行周期延拓，得到无限的锯齿波输出，则傅里叶变换应由下式求得：

这里ak是傅里叶变换F(ω)在ω=k的取值，带入上式就可以求得最终结果了，可自行推导。从连续波形的傅里叶变换可以看出，信号频率成分不再连续而是变成信号频率本身的整数倍的分量叠加，幅度也改变了。具体原理可参看相关书籍。
傅里叶变换是可逆的，也就是说通过傅里叶变换可以将任意波形分解成一系列正弦波组合，而通过一些列正弦波按分解结果叠加也可以还原原始波形。但是对于任何条件而言，都不可能做到无限的频带和绝对的精度，所以最终合成的结果与原始波形或者目标波形总是有所差异的。
上述波形采用了12次谐波叠加，相位固定且幅度变化为1/ω，符合展开结果，最终得到了非常贴近的输出结果。如果继续累加高次谐波则输出波形会越来越接近理想结果。